一、數(shù)學(xué)知識的特點 作為學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，不應(yīng)當(dāng)是獨立于學(xué)生生活的“外來物”，不應(yīng)當(dāng)是封閉的“知識體系”，更不應(yīng)當(dāng)只是由抽象的符號所構(gòu)成的一系列客觀數(shù)學(xué)事實（概念、定理、公式、法則等）。它大體上有這樣四個特點： （1）數(shù)學(xué)知識盡管表現(xiàn)為形式化的符號，但它可視為具體生活經(jīng)驗和常識的系統(tǒng)化，它可以在學(xué)生的生活背景中找到實體模型。現(xiàn)實的背景常常為數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展提供情境和源泉，這使得同一個知識對象可以有多樣化的載體予以呈現(xiàn)。另一方面，數(shù)學(xué)知識的形成過程又是可以在教師的引導(dǎo)下，通過學(xué)生的自主活動來體驗和把握的。 （2）數(shù)學(xué)知識具有一定的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)形成了數(shù)學(xué)知識所特有的邏輯序，而這種結(jié)構(gòu)特征又不只是體現(xiàn)為形式化的處理，它還可以表現(xiàn)為多樣化的問題以及問題與問題之間的自然聯(lián)結(jié)和轉(zhuǎn)換，這樣，數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)就成為一個相互關(guān)聯(lián)的、動態(tài)的活動系統(tǒng)。 （3）多數(shù)知識都具有兩種屬性，即它們既表現(xiàn)為一種算法、操作過程，又表現(xiàn)為一種對象、結(jié)構(gòu)。學(xué)生在實際應(yīng)用時，通常應(yīng)根據(jù)需要靈活地改變認知的角度，有時將某個概念當(dāng)做有操作步驟的過程，有時又需把它作為一個固定的個體，成為思考或操作的對象。例如，三角函數(shù)cosβ，可看成x與r之比的運算，也可當(dāng)做為比值；表達式 ，既是一組運算過程，也是由這組運算關(guān)系形成的一個結(jié)構(gòu)，或視為運算結(jié)果。 二、學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感因素 有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來自于學(xué)生對數(shù)學(xué)活動的參與，而參與的程度卻與學(xué)生學(xué)習(xí)時產(chǎn)生的情感因素密切相關(guān)。如學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價值的認可，對學(xué)習(xí)對象的喜好，成功的學(xué)習(xí)經(jīng)歷體驗，適度的學(xué)習(xí)焦慮，成就感、自信心與意志等等。 心理學(xué)的理論表明，個體的動機、情感、意志、氣質(zhì)等非智力因素對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及智力開發(fā)有著很大影響。事實上，這些非智力因素本身也是個體全面發(fā)展的重要標(biāo)志。我們的數(shù)學(xué)教學(xué)活動顯然應(yīng)當(dāng)把學(xué)生的非智力因素教育作為教學(xué)目標(biāo)之一。 只注重學(xué)生的智力發(fā)展，不考慮超負荷訓(xùn)練的數(shù)學(xué)課程可能會給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷留下太多的陰影，從而造就許多“失敗者”的心態(tài)，并以這種心態(tài)去面對今后的人生，這是我們今天的數(shù)學(xué)課堂普遍存在的現(xiàn)象。作為促進學(xué)生一般性發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)該更多地關(guān)注學(xué)習(xí)的情感因素，使學(xué)生的非智力因素與智力因素協(xié)調(diào)發(fā)展。 事實上，健康與富有活力的學(xué)習(xí)活動、獨立思考與合作交流的學(xué)習(xí)方式、自信以及相互尊重的學(xué)習(xí)氛圍非常有利于學(xué)生非智力因素的發(fā)展，有利于健康人格的形成。因此，教師應(yīng)當(dāng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個寬松的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境，使得他們能夠在其中積極自主地、充滿自信地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，平等地交流各自的數(shù)學(xué)理解，并通過相互合作去解決所面臨的問題。 當(dāng)然，這里談到的非智力因素在很大程度上還屬于外部動機，最終還應(yīng)當(dāng)使之轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯又赶?/span>數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)部動機（認知內(nèi)驅(qū)力）。而這一轉(zhuǎn)變的實現(xiàn)來自于多方面：除了對經(jīng)歷挫折、獲得成功的體驗以外，或許更多的是由于在學(xué)習(xí)活動的過程中所體驗的，對數(shù)學(xué)本身的感受、領(lǐng)悟和欣賞等。 三、學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中認知、情感發(fā)展的階段性特點 雖然不同的個體，其認知發(fā)展、情感和意志要素不完全相同，但相同年齡段的學(xué)生卻有著整體上的一致性，而不同年齡段的學(xué)生在整體上有比較明顯的差異。具體說來： 小學(xué)低年級—中年級的學(xué)生更多地關(guān)注“有趣、好玩、新奇”的事物。因此，學(xué)習(xí)素材的選取與呈現(xiàn)以及學(xué)習(xí)活動的安排都應(yīng)當(dāng)充分考慮到學(xué)生的實際生活背景和趣味性（玩具、故事等），使他們感覺到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一件有意思的事情，從而愿意接近數(shù)學(xué)。 小學(xué)中年級—高年級的學(xué)生開始對“有用”的數(shù)學(xué)更感興趣。此時，學(xué)習(xí)素材的選取與呈現(xiàn)以及學(xué)習(xí)活動的安排更應(yīng)當(dāng)關(guān)注數(shù)學(xué)在學(xué)生的學(xué)習(xí)（其他學(xué)科）和生活中的應(yīng)用（現(xiàn)實的、具體的問題解決），使他們感覺到數(shù)學(xué)就在自己的身邊，而且學(xué)數(shù)學(xué)是有用的、必要的（長知識、長本領(lǐng)），從而愿意并且想學(xué)數(shù)學(xué)。 小學(xué)高年級—初中的學(xué)生開始有比較強烈的自我和自我發(fā)展的意識，因此對與自己的直觀經(jīng)驗相沖突的現(xiàn)象，對“有挑戰(zhàn)性”的任務(wù)很感興趣。這使得我們在學(xué)習(xí)素材的選取與呈現(xiàn)以及學(xué)習(xí)活動的安排上除了關(guān)注數(shù)學(xué)的用處以外，也應(yīng)當(dāng)設(shè)法給學(xué)生經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”的機會（探究性問題、開放性問題），使他們能夠在這些活動中表現(xiàn)自我、發(fā)展自我，從而感覺到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是很重要的活動，并且初步形成“我能夠而且應(yīng)當(dāng)學(xué)會數(shù)學(xué)地思考”。
可見，處于不同發(fā)展階段的兒童，其思維水平、思維方式與思維特征有顯著的差異，而處于同一發(fā)展階段的兒童則具有較為明顯的一致性，這種匹配性是客觀存在的，而且其發(fā)展又主要通過學(xué)習(xí)活動來實現(xiàn)。與此相適應(yīng)，學(xué)生有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷不同的階段性。處于每一發(fā)展階段的學(xué)生應(yīng)當(dāng)有適合他們自己思維水平和思維方式的學(xué)習(xí)素材，應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷對他們來說有意義的學(xué)習(xí)活動。例如，同底數(shù)冪的除法：
方法一：因為
方法二：因為
方法三：由冪的乘法法則得 上述三種方法顯然在思維水平上體現(xiàn)了完全不同的要求。
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