數(shù)學(xué)在19世紀(jì)已經(jīng)發(fā)展成獨立的學(xué)科。到了19世紀(jì)下半葉，隨著不斷從實際中獲取營養(yǎng)以及自身的蓬勃發(fā)展，數(shù)學(xué)本身積累了大量豐富的資料（成果、方法和理論等），在繁榮的同時，也留下了眾多沒有解決的難題。在這種變革與積累的基礎(chǔ)上，20世紀(jì)以來的數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出指數(shù)式的飛速發(fā)展。隨著經(jīng)典數(shù)學(xué)的繁榮和統(tǒng)一、許多新的應(yīng)用數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生，特別是計算機(jī)的出現(xiàn)及其與數(shù)學(xué)的結(jié)合，使得數(shù)學(xué)在研究領(lǐng)域、研究方式和應(yīng)用范圍等方面都得到了空前的拓展。 數(shù)學(xué)在發(fā)展的過程中，一直從實踐中汲取著豐富的營養(yǎng)。在第二次世界大戰(zhàn)以前，數(shù)學(xué)已經(jīng)跨越自我，在相關(guān)學(xué)科（如相對論、量子物理、理論物理、彈性力學(xué)、流體力學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等）中得到了應(yīng)用，并取得了前所未有的成就。但當(dāng)時數(shù)學(xué)對工程技術(shù)的應(yīng)用往往只起著間接的作用，即首先應(yīng)用于其他學(xué)科，再由這些學(xué)科提供技術(shù)進(jìn)步的基礎(chǔ)。而自第二次世界大戰(zhàn)以來，由于經(jīng)濟(jì)以及其他科學(xué)技術(shù)都有了空前的發(fā)展，出現(xiàn)了一大批需要數(shù)學(xué)提供決策性結(jié)論的新型實際問題。例如，大批量生產(chǎn)的質(zhì)量控制和檢驗問題、生產(chǎn)的方案與配方問題、可靠性問題、大型的調(diào)度問題、通訊中抗干擾和從微弱信號中提取信息的問題、編碼問題以及后來出現(xiàn)的信息壓縮問題、遠(yuǎn)程控制問題等等，這些問題形成了新的數(shù)學(xué)應(yīng)用的推動力。隨著數(shù)學(xué)自身的蓬勃發(fā)展，它所積累的豐富理論、方法提供了描述實際現(xiàn)象（建立模型）的有力工具和研究模型方法的雄厚基礎(chǔ)。這兩方面的結(jié)合，形成了一批帶有新特點的獨立的應(yīng)用數(shù)學(xué)，如數(shù)理統(tǒng)計、運(yùn)籌學(xué)、信息論、控制論等。 大批的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題要求提供決策性結(jié)論，一般要求算出數(shù)值解，這在過去往往存在著計算上難以逾越的困難，因而在實際中只好簡化計算，有時甚至使原來的問題變得面目全非，或者放棄用計算方法解決問題的途徑，而改用模型的方法，這樣會犧牲精確性。但是在第二次世界大戰(zhàn)中需要解決的那些問題，卻離不開高度的精確性或大規(guī)模的計算。電子計算機(jī)就是在這種歷史性的要求下發(fā)明和研制出來的。電子計算機(jī)的出現(xiàn)，它的大容量存儲、高速度計算使得掃除計算障礙在技術(shù)上成為可能。這些因素的綜合作用使得自然科學(xué)和社會科學(xué)中到處有數(shù)學(xué)的驚人應(yīng)用。 今日的數(shù)學(xué)，已不甘于站在后臺，而是大步地從科學(xué)技術(shù)的幕后直接走到了前臺?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)不單只是通過別的科學(xué)間接地起作用了，它已經(jīng)直接進(jìn)入科技的前沿，直接參與創(chuàng)造生產(chǎn)價值——數(shù)學(xué)已經(jīng)走到前線了?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)與計算機(jī)相結(jié)合而產(chǎn)生的威力無窮的“數(shù)學(xué)技術(shù)”，滲透到了與人類生存息息相關(guān)的各個領(lǐng)域，成為一個國家綜合國力的重要組成部分。國家的繁榮昌盛，關(guān)鍵在于高新科技的發(fā)達(dá)和經(jīng)濟(jì)管理的高效率，而高新科技的基礎(chǔ)是應(yīng)用科學(xué)，應(yīng)用科學(xué)的基礎(chǔ)則是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)對國家的建設(shè)和發(fā)展具有巨大的作用。對此，我國著名數(shù)學(xué)家王梓坤院士指出：“由于計算機(jī)的出現(xiàn)，今日數(shù)學(xué)已不僅是一門科學(xué)，還是一種普適性的技術(shù)，從航天到家庭，從宇宙到原子，從大型工程到工商管理，無一不受惠于數(shù)學(xué)技術(shù)。因而今日的數(shù)學(xué)兼有科學(xué)與技術(shù)兩種品質(zhì)，這是其他學(xué)科所少有的。” 以往數(shù)學(xué)界將證明定理作為數(shù)學(xué)研究的主要目標(biāo)（至少純數(shù)學(xué)是這樣）。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)既廣泛與各門自然科學(xué)相滲透，又與計算機(jī)結(jié)合直接應(yīng)用于高技術(shù)，這就使得建立模型日漸成為數(shù)學(xué)的主要目標(biāo)之一。當(dāng)人們面對紛繁復(fù)雜的科學(xué)技術(shù)和社會現(xiàn)象時，數(shù)學(xué)可以通過建立模型、分析和求解、計算乃至形成軟件等一系列方法來幫助我們把握客觀世界。所以，在美國國家研究會《人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來——關(guān)于數(shù)學(xué)教育的未來致國民的一份報告》中有了“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式和秩序的科學(xué)”的提法，1994～1998任世界數(shù)學(xué)聯(lián)盟主席的D.Mumford在1998年論述現(xiàn)代數(shù)學(xué)的趨勢時說：“創(chuàng)建好的模型正如證明深刻的定理一樣有意義。我想，承認(rèn)這一點，數(shù)學(xué)將會從中收益?！?二、經(jīng)典數(shù)學(xué)得到了蓬勃發(fā)展，形成了許多新成果和新思想。
19世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展和眾多沒有解決的難題促成了20世紀(jì)上半葉以來對數(shù)學(xué)所進(jìn)行的系統(tǒng)整理，即以集合論為基礎(chǔ)、公理化為方法將數(shù)學(xué)分門別類地整理成不同學(xué)科，各學(xué)科以公理化方法將原有材料系統(tǒng)化、一般化。集合論觀點與公理化方法將數(shù)學(xué)的發(fā)展引向了高度抽象的道路。結(jié)合數(shù)學(xué)對各個學(xué)科中重要問題的研究，使得原有的許多學(xué)科（如代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)論、泛函分析等）在新的基礎(chǔ)上得到了更大的發(fā)展。同時，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的探討也促使了一些新的數(shù)學(xué)學(xué)科（如數(shù)理邏輯、公理化集合論等）的形成，人們逐漸認(rèn)識到在數(shù)學(xué)中有一些基本結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)以及后來認(rèn)識到的測度結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)的相互影響和滲透使得數(shù)學(xué)的很多學(xué)科得到長足的發(fā)展，并形成一些新的學(xué)科（如概率論、隨機(jī)過程、微分幾何、微分方程、代數(shù)幾何、多復(fù)變函數(shù)論等）。即使是一些與公理化進(jìn)程關(guān)系不大的數(shù)學(xué)分支（如解析數(shù)論）也得到巨大的發(fā)展。在20世紀(jì)中，有些歷時幾百年的著名數(shù)學(xué)難題（如費(fèi)馬大定理、四色問題）得到了解決，尤其令人們意想不到的是，數(shù)理邏輯竟成為發(fā)明現(xiàn)代電子計算機(jī)的先導(dǎo)。 計算機(jī)的出現(xiàn)不僅使數(shù)學(xué)比以往任何時候都更具威力，同時也極大地改變了數(shù)學(xué)科學(xué)自身的某些特點。一方面，計算機(jī)進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，使一些以前不大受重視的數(shù)學(xué)理論重放光彩，促進(jìn)了計算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)模型、離散數(shù)學(xué)、數(shù)理邏輯等許多數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，并開發(fā)了許多邊緣科學(xué)（如人工智能、圖像識別、機(jī)器證明、數(shù)據(jù)處理等）；計算機(jī)開拓了一系列數(shù)學(xué)研究的新領(lǐng)域和新課題，改變了數(shù)學(xué)各分支之間的平衡，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部的統(tǒng)一；計算機(jī)為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和證明提供了新工具。如M.Atiyah所說，計算機(jī)正在數(shù)學(xué)家工作的所有階段，特別是在探索和實驗階段，提供著十分實際和有效的幫助。隨著數(shù)學(xué)向縱深的發(fā)展，所遇到的原始素材也相應(yīng)地會變得更加凌亂和復(fù)雜。正是計算機(jī)可以幫助我們篩選這些素材并為我們指出進(jìn)一步理解和前進(jìn)的道路。 另一方面，正如計算機(jī)給數(shù)學(xué)提供了新的機(jī)會一樣，數(shù)學(xué)也使計算機(jī)越來越具有了不可思議的威力。數(shù)學(xué)為解釋自然現(xiàn)象提供了構(gòu)造模型的方法，也開發(fā)出運(yùn)用計算機(jī)語言實現(xiàn)這些模型的算法，極大地提高了計算機(jī)處理問題的功能。事實上，計算機(jī)本身以及計算機(jī)的進(jìn)一步開發(fā)、改進(jìn)和應(yīng)用都離不開數(shù)學(xué)。
綜上所述，計算機(jī)和數(shù)學(xué)形成了一個緊密相關(guān)的系統(tǒng)，正是這個系統(tǒng)產(chǎn)生了以前不可能出現(xiàn)的新結(jié)果和以前難以想像的新思想。 三、數(shù)學(xué)研究的方式發(fā)生了變化，“做數(shù)學(xué)”的過程更加凸顯
人們對數(shù)學(xué)研究方法的描繪往往主要集中于利用紙、筆進(jìn)行運(yùn)算和證明，很難體會觀察、實驗、嘗試、猜測等活動對數(shù)學(xué)的作用，其實這些也是數(shù)學(xué)研究的重要方式。數(shù)學(xué)講究嚴(yán)謹(jǐn)和邏輯，更需要探索和創(chuàng)造。特別是計算機(jī)的出現(xiàn)，向數(shù)學(xué)家提供了探索模式和檢驗猜想的強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家的研究方式開始發(fā)生變化。實際上，計算機(jī)提供了進(jìn)行多次試驗計算的可能性，為數(shù)學(xué)研究提供了有力的“實驗工具”。W.Brown在談到數(shù)學(xué)研究成果的表現(xiàn)形式時形象地指出，在過去，一項數(shù)學(xué)研究的成果總是一篇關(guān)于命題的證明或反駁的科學(xué)論文，現(xiàn)在它卻可以包含一些色彩鮮艷的圖案和一聲充滿快樂的驚呼：“看，我發(fā)現(xiàn)了什么!”
由于計算機(jī)與數(shù)學(xué)的結(jié)合，使得實驗、試誤、模擬、猜測、調(diào)控等已經(jīng)成為當(dāng)今數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)，特別是應(yīng)用數(shù)學(xué)的重要方式，伴隨著數(shù)學(xué)實踐活動和數(shù)學(xué)實驗的加強(qiáng)，一個基本的“做數(shù)學(xué)”的過程日益清晰，許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家都以不同的措辭描述了這一過程。著名的“美國2061計劃第一階段數(shù)學(xué)專家小組報告”中提到：我們看到了一個基本的數(shù)學(xué)過程的循環(huán)，它反復(fù)出現(xiàn)，形成了最基本的形式——抽象、符號變換和應(yīng)用。這種循環(huán)不只出現(xiàn)在普通實驗和數(shù)學(xué)實驗的交界處，而且也在數(shù)學(xué)王國內(nèi)部多次重復(fù)，導(dǎo)致了該學(xué)科更高水平的概括性，從而使它可以具有更強(qiáng)的效能。H.Freudenthal將這一過程稱之為數(shù)學(xué)化，即數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程。在這個“做數(shù)學(xué)”的過程中，不僅有計算或演繹，而且涉及觀察、猜測、嘗試、調(diào)控、估計、檢驗等多種方式。 20世紀(jì)中葉以來純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展依然強(qiáng)勁，費(fèi)馬定理的證明轟動世界，哥德巴赫猜想正以百萬美元的懸賞征求解決，法蘭西科學(xué)院的7位數(shù)學(xué)家提出了新千年的七個數(shù)學(xué)問題，與100年前希爾伯特的23個數(shù)學(xué)問題遙相呼應(yīng)。與此同時，數(shù)學(xué)家正在運(yùn)用數(shù)學(xué)和計算機(jī)技術(shù)解決各色各樣的實際問題，數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系更加直接，對社會的發(fā)展產(chǎn)生著越來越大的影響。著名數(shù)學(xué)家Phillip A.Griffiths對20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展表達(dá)了如下的看法：“20世紀(jì)是數(shù)學(xué)的黃金時代，許多重大而長期沒有答案的問題終于得到了解決。究其成功的原因，大多是由于我們對各個分支之間復(fù)雜的相互影響及作用有了日益增長的理解，那些相互關(guān)聯(lián)不斷擴(kuò)大和深化，從而數(shù)學(xué)開始跨越自我來探索與其他科學(xué)領(lǐng)域之間的相互作用了。這些涉及數(shù)學(xué)各種領(lǐng)域之間的及數(shù)學(xué)與其他科學(xué)領(lǐng)域之間的相互作用，已經(jīng)導(dǎo)致了一些偉大深刻見解的產(chǎn)生，也導(dǎo)致了數(shù)學(xué)領(lǐng)域在廣度和深度上進(jìn)一步擴(kuò)大。” 總而言之，數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用使得數(shù)學(xué)自身已經(jīng)成為現(xiàn)代社會中一種普遍適用的技術(shù)，人們通過數(shù)學(xué)收集、整理、描述信息，建立模型，進(jìn)而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值；數(shù)學(xué)不僅幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，同時為人與人之間的交流提供了一種有效、簡捷的手段；數(shù)學(xué)在對客觀世界定性把握和定量刻畫的基礎(chǔ)上，逐步抽象概括，形成方法和理論，并進(jìn)行應(yīng)用，這一過程除了邏輯和證明外，充滿著探索與創(chuàng)造。數(shù)學(xué)的上述特征應(yīng)該在《標(biāo)準(zhǔn)》中得以體現(xiàn)，數(shù)學(xué)課程應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學(xué)刻畫現(xiàn)實世界的過程和全貌，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界和人類進(jìn)步的密切聯(lián)系；應(yīng)該使學(xué)生體會數(shù)學(xué)研究的基本方法：觀察、試驗、收集信息、猜測、驗證、證明、反思、調(diào)控……這些方法的熏陶，將使人終生受益。
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